Symmetric Vibration of Nonlinear Triatomic Molecule

= <= /span>

Месечн&#= 1086; списание за

Култу= ;ра, = Образованиk= 7;, Стоп&#= 1072;нство, Нау= ;ка, = Общество, Се= мейство =3D1

Си&#= 1084;етрично валентно трептение н = 72; симетрични нелинейни триатомни молекули

Тозl= 0; материал е продължениk= 7; на предишни= 03;, “Валентни трептения н = 72; симетрични линейни триатомни молекули” от брой 37.

Какm= 0;о споменахме = 74; предишния материал, въп&#= 1088;еки че за повече от две тела в общия случа = 81; няма аналитично решение, то за симетрич = 85;а = 083;инейна = 090;риатомна молекула е възможно да се намерят ан&#= 1072;литични решения на системата о = 90; уравнения, които описв = 72;т движението на атомите. Също така, аналитично решение мож = 77; да се намери и за валентните трептения н = 72; симетрична &= #1085;елинейна = 090;риатомна молекула.

! Аналитичноm= 0;о решение се изразява с общо уравне = 85;ие (уравнения), в което масит = 77; и другите физични величини стоят с техните означения и за всяка едн= 072; тяхна конкретна стойност може да се изчислят по уравнениетl= 6; (уравненият = 72;) местоположk= 7;нието на телата и техните скорости.

За&#= 1076;ачите, за които ням= 072; аналитично решение се решават числено с използванеm= 0;о на компютри.

= Съ&#= 1076;ържание

1. Уравнения з = 72; движението на трите атома.

2. Изменение н = 72; дължините н = 72; връзките като функци= 03; от изменениетl= 6; на координатиm= 0;е на трите атома.

3. Уравнение з = 72; симетрично трептене на нелинейна симетрична триатомна молекула.

=

Авторски права: Материалът или част от него могат д= 072; се използва = 90; свободно (копирани на друг сайт) в обучението на българск = 80; или македонски студенти само ако в сайта изрично се цитира тази оригинална статия във вида: П.Пенче= ;в, Симетрично = 74;алентно трептение<= i> на симетрични нелинейни триа= ;томни молекули, Списание "Коснос", брой 38, 2009 г. http://www.kosnos.co= m

Си&#= 1084;етрично валентно трептение н = 72; симетрични нели&#= 1085;ейни триатомни молекули

Поради сложността на материят = 72;, в настоящат = 72; лекция ще разгледаме само едно от валентните тр&#= 1077;птения на симетрич = 85;а нелинейна триатомна молекула и щ= 077; намерим аналитично решение на полученото = 91;равнение.

Основно предположеl= 5;ие в настоящот = 86; приближениk= 7; е, освен че имаме хармонични трептения, т= 086; и че силоват= 072; константа н = 72; взаимодейсm= 0;вие между двете връзки е равна на нул= 072;, т.е. в потенциалнk= 2;та енергия на системата константатk= 2; f_1,2 e нула:

в горната формула Dr_k са вътрешl= 5;ите координати, а Dr₁ и Dr₂ са изменениетl= 6; на дължинит = 77; на двете хим= 080;чни връзки (вижт= 077; фигура 1).

Фи&#= 1075;ура 1. Модел на симетрична нелинейна молекула с валентен ъгъл a.

1. Уравнен = 80;я за движението на трите атома. Избl= 0;раме координатнk= 2;та система (фигура 1) с ос X, успоред = 85;а на правата съединяващk= 2; атоми 1 и 3, ориk= 7;нтирана от m= ₁ към m₃, и която минава през атом 2. Обърнет = 77; внимание, че за симетрична нелинейна молекула r_1,0 =3D r2,0= =3D r₀ и m₁ =3D m₃, а също така двете силов = 80; константи, f₂ и<= span lang=3DBG style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'> f₂, са равни помежду си: f₂<= /span> =3D f₂ =3D f.

При разтягане н = 72; връзките силите, коит= 086; ще действат на атомите п= 086; оста X са следните:=

°      =    При удължаване на първата връзка, т.е. при увеличване на r₁ на&= #1076; стойността на r_1,0= проекцията по оста Х на <= span lang=3DBG style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'>си&#= 1083;ата върху първи= 03; атом ще е надясно (пол= 086;жителна), а тази над втория – наляво (отрицателн = 72;). По ос Y ще действа сил = 72; нагоре (когато има удължаване на връзката).

°      =    При удължаване = 85;а втората връзка, т.е. при увеличване на r₂ на&= #1076; стойността на r_2,0= проекцията по оста Х на <= span lang=3DBG style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'>си&#= 1083;ата върху трети= 03; атом ще е наляво (отри= 094;ателна), а тази над вт&#= 1086;рия – надясно (положителн = 72;). По ос Y ще действа сил = 72; нагоре (когато има удължаване на връзката).

°      =    На втори= 103; атом ще действат дв = 77; сили, една от &= #1088;азтягане на лявата връзка, и втора – от разтягане н = 72; дясната връзка: техните проекции по оста Х са с различен зн = 72;к, а проекциит = 77; им по оста Y са положителнl= 0;;

°      =    силите с= 072; съответно f Dr₁ и f Dr₂, където, съответно, с Dr₁ и Dr₂ са означени изменениятk= 2; на дължинит = 77; на двете връзки, а техните проекции по оста X са ±f sin(a/2) Dr₁ и ±f sin(a/2) Dr₂, в зависимост от знака на проекцията;

°      =    проекци = 80;те на тези сили по оста Y са ±fcos(<= /span>a/2) Dr₁ и ±f cos(a/2)Dr₂, в зависимост от знака на проекцията.

°      =    Важно е да се подчертае, ч= 077; атоми 1 и 3 се движат по посока на връзките, а атом 2 (който е по средата) се движи сам= 086; по посока на оста Y: това последното може да се докаже чрез използване на симетрията на молекулата, която е C₂_v за нелинейна молекула.=

Тогава уравнениятk= 2; за движение на трите ато= 084;а по оста X ще са следните:

= (1)

= (2= )=

= ;(3)=

А уравнениетl= 6; за движение на атом 2 по остта Y е следното:

= (4)

В тези уравнения още не сме заместили r_1,0 =3D r2,0= =3D r₀, за да получим по общо решени = 77; за случая, ко&#= 1075;ато дължините н = 72; връзките са различни, но &#= 1089;ме заместили f₂ =3D f₂ =3D f и m<= sub>1 =3D m₃. Същ&#= 1086; така направ = 86; написахме изменениетl= 6; на дължинит = 77; на връзките, Dr₁ и Dr₂, в лявата им част, а не с разлики на няколко вел = 80;чини, както направихме = 74; предишния материал.

В случая на ъгъл, различен от 180= ^о изменениетl= 6; на дължинат = 72; на първата връзка не се дава както при линейна молекула с (x₂- x1 –<= span lang=3DBG style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:RU'> r_1,0 ), нито пък изменениетl= 6; на дължинат = 72; на втората връзка не е (x₃ - x2 – r_2,0). Но въпреки тов = 72; може да са намери зависимост между производниm= 0;е на координати на трите атома и изменениетl= 6; на дължинит = 77; на връзките.

2. Изменен = 80;е на дължинит = 77; на връзките като функци= 03; от изменениетl= 6; на координатиm= 0;е на трите атома. На фигура 2 е даден черте = 78; за промянат = 72; на координа = 90;ите на втори и трети атом при движени = 77; на трети ато= 084; по дължинат = 72; на връзката = 080; на втори ато= 084; по оста Y. Образува се един триъгълник = 89; дължини на страните r₂+ dr₃, dy₂ и<= span lang=3DRU style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'> r₂+ dr₂. Обърнете внимание, че удължаванеm= 0;о на връзката между 2 и 3 атом е dr₂, докато dr₃ е преместванk= 7;то на трети ато= 084; по линията н= 072; връзката! Ъгълът межд = 91; първите две страни е p - a/2.

Фи&#= 1075;ура 2.<= span lang=3DRU style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'> Вр&#= 1098;зка между изменениетl= 6; на Y координатаm= 0;а на втория ат= 086;м, dy₂, изменениетl= 6; на X координатаm= 0;а на третия ат= 086;м, dx₃, премест = 74;ането на третия атом по дължина на връзката, dr₃,и изменениетl= 6; на дължинат = 72; на втората връзка, dr₂.

В геометриятk= 2; съществува формула - (5), която свързва дължината н = 72; една страна на триъгълн = 80;ка, a, с дължините н = 72; другите две, b и = c, и ъгъла между тях a.

a² =3D b² + c² – 2 = b c cos a            =             &nb= sp;          (5)

Ако използваме (5), то можем да получим връзка межд = 91; dr₃, dy₂ и<= span lang=3DRU style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'> dr₂. За гореспоменk= 2;тия триъгълник от фигура 2 то&= #1074;а уравнение е:

(r₂ + dr₂)² =3D (r₂ + dr₃)² + (dy₂)² – 2(r₂+ dr₃)dy₂cos(= p - a/2)=          (6a)

В това уравнение има три величини, които са много по-малки от дължината н = 72; втората връ = 79;ка r₂ – това са dr₂, dr₃ и dy₂, и затова техните квадрати могат да се пренебрегнk= 2;т, понеже са ощ= 077; по-малки; велl= 0;чините, които могат да се пренебрегнk= 2;т са означени съ = 89; синьо, а величините, които се съкращават = 89; червено.

r₂²+ 2r₂dr₂⁼+ dr₂<= sup>2 =3D

r₂²+ 2dr₃ r₂+ dr₃² + dy2² –= 2r₂dy₂cos(p - a/2)= - 2dr= ₃dy2cos(p - a/2) (6b)

У= равнението се преобразувk= 2; в зависимос = 90;та (6c)

2r₂dr₂=3D = 2dr₃ r₂ – 2r₂dy₂cos(p - a/2)         &= nbsp; (6c)

= ил&#= 1080; след съкращаванk= 7; на 2r₂ и замяната cos(p - a/2) =3D -cos= (= a/2)= се получава (6d)

<= /span>dr₂=3D d= r₃ + = dy₂cos(a/2)    &n= bsp;            = ;    (6d)

Тази зависимост може да се получи и с елементарнl= 0; съображениn= 3;, просто като се съобрази от фигура 2, че з&#= 1072; много малки промени на тези три величини, dr₂ и dr₃ са отсечки, успоредни н = 72; втората връзка, а про&#= 1077;кцията на dy₂ върху тази връзка = 077; dy₂cos(= a/2)= , и ч= ;е удължениетl= 6; на връзката r₂, dr<= sub>2, е сума от тази проекция и dr₃.

От фигур= 072; 2 се вижда, че dx₃=3D d= r₃sin(a/2), при което окончателнl= 6; се получава

dr₂ = =3D dx₃/= sin(a/2)= + dy₂cos(= a/2)=             =            (7)

Текущат = 72; дължина на втората връзка може = 076;а бъде записана като r2 = =3D = r₂_,0 + D r₂, което при диференцирk= 2;не дава

dr₂=3D dr2_,0 + d(Dr₂) =3D 0 + d<= /span>(Dr₂) =3D d(Dr₂)

ил&#= 1080;        =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =       (8)

dr₂=3D d(Dr₂)

Може би изглежда странно в (8), чk= 7; из&#= 1084;енението на дължинат = 72; на втората връзка r₂, dr₂, е равно на изменениетl= 6; на нейната промяна, d(D r₂), но нека не забравяме, ч= 077; тази промян = 72; в дължината Dr₂ е дефинирана като Dr₂=3D r2 – = r₂_,0, което е просто едно = 072;лгебрично отместване на r₂ с = r₂_,0.

При заместване на (8) в (7) се получава<= /p>
d(Dr₂) =3D dx₃/ sin(a/2) + dy₂cos(a/2)         &= nbsp;         (9a)

Със същите разсъждениn= 3; може да се се достигне до (9b), като не забравяме, ч= 077; в този случа= 081; връзката между dx₁ (то= е отрицателнl= 6;) и dr₁ ще е

–dx₁<= span lang=3DBG style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'>=3D dr₁sin(= a/2)=

d(Dr₁) =3D -dx1/ sin= (= a/2)= + dy₂cos(= a/2)=             =      (9b)

От съотношениn= 3;та (9) могат да се получат същ = 80;те връзки межд = 91; вторите им производни:

      &nb= sp;         (10a)

      &nb= sp;            (10b)

3. Уравнение з = 72; симетрично трептене на нелинейна симетрична триатомна молекула. Ак&#= 1086; в уравнение (10= a) заместим уравнения (1) и (4), то ще получим:

или<= /span>

      &nb= sp;            =    (11a)

И аналогично, ако в уравнение (10<= span style=3D'font-family:Arial'>b) заместим уравнения (3) и (4), то ще получим:

или<= /span>

      &nb= sp;            = (11b)

Ако съберем двете уравнения (11a) и (11b) и отбележим нова променлива Dr_sym_,Dr_sym =3D _<=
/span>Dr₁ + = Dr₂, то ще получим:

      (= 12a)

Ако групираме подобните членове горното ура = 74;нение става

      &nb= sp; (12b)

или

      &nb= sp;   (12c)

където приведенатk= 2; маса m се дава с уравнение (13)

       (13)

Както знаем, решениk= 7;то на уравнени = 77; (12= ) е една косинусоидk= 2;

Dr_sym =3D A cos(w_symt + j₀) (<= b>14a)

или запl= 0;сано с (линейна) че&#= 1089;тотата на трептене, n_sym,

Dr_sym =3D A cos(2pn_symt + j₀) (<= b>14b)

При коет= 086; кръговата честота w_sym е равl= 5;а на <= /o:p>

= ; (15a),

а (линейна= 090;а) = 095;естота на трептене, n_sym,

= ; (15b)

Формули = 90;е (7) и (8) са дадени в книгата на Шрадер [2] без извод. В тях квадратът н = 72; косинуса е з= 072;местен по следния начин 2cos(= a/2)=3D 1+cos(a)= .

! При горните изводи беше допуснато, ч= 077; няма взаимо = 76;ействие между двете връзки, т.е. в потенциалнk= 2;та енергия на системата константатk= 2; f_1,2 e нула. На практика, удължаванеm= 0;о на едната вр= 098;зка засяга електронниn= 3; строеж на другата (и обратно), което води д= 086; f_1,2 ≠ 0, която стойност влияе на изчисленитk= 7; честоти, макар че стойността на тази силова конс = 90;анта е малка по абсолютна стойност, сравнена с f_1,_=
1 =3D f₂_,2= =3D f.

Ако заместим a =3D 180^o в (15= b), т.е. имаме линей&= #1085;а молекула, то за честотат = 72; на симетричноm= 0;о трептене ще получим следната формула (понеже cos(180/2) =3D cos(90/2) = =3D 0):

(16)=

кояm= 0;о съвпада с ур= 072;внение (8b) от материала “Валентни трептения н = 72; симетрични линейни триатомни молекули”<= span lang=3DRU style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:RU'>.

По интереl= 9;но е д= а заместим a =3D 0^o в (15= b), т.е. имаме линей&= #1085;а молекула, в която двата атома 1 и 3 са нk= 2; едно и също място. Тогав= 072; за честотат = 72; на трептене получаваме (понеже cos(0/2) =3D cos(0/2) = =3D 1):

= ; (17)=

Тази формула на практика съвпада с ураk= 4;нение (13b) от материала “Валентни трептения н = 72; симетрични линейни триатомни молекули”<= span lang=3DRU style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:RU'>, което е урав= 085;ението за антисиметр&= #1080;чното трептене на линейна триатомна молекула.

Това съвпадение &= #1085;е противоречl= 0; на този граничен случай (a =3D 0^o), защото атом 3 при това завъртане щ = 77; се движи обратно на атом 1 и трептенето ще е един вид несиметричl= 5;о. Средният атом 2, който за симетричноm= 0;о трептене на триатомна молекула (линейна и нелинейна) н= 077; се движи по остта X, мож = 77; да се раздел= 080; на две части, които се дви= 078;ат противополl= 6;жно и следователl= 5;о центърът на масите не се премества. Това ясно се вижда от фигура 3, от която също може да се съобрази, че това са две независими, но на практика еднакви, трепт= ;ения на молукули = 089; маси m₁ и = m₂/2, чиято приведена маса се дава с (18).

&nb= sp; (18)

Фи&#= 1075;ура 3.<= span lang=3DRU style=3D'font-family:Arial;mso-ansi-language:BG'> Ев&#= 1088;истично представянk= 7; на граничния случай с a =3D 0^o по подобие на това в материала “Валентни трептения н = 72; симетрични линейни триатомни молекули”.=

⁽^{с=
098;държание на
поредицата
“Молекулна
спектроскоl=
7;ия”}⁾

Литk= 7;ратура

1. Г. Андреев. Молекулна спектроскоl= 7;ия, Издателство на= ПУ “П. Хилендарскl= 0;”, Пловдив, 1999.

2. Bernhard Schrade= r (Ed.); Infrared and Raman Spectroscopy. Materials and Methods. VCH, Weinheim 1995.=

= 40;втор: д-р Пламен Пенчев

[ това е стати= 103; от б = 88;ой 38 от април 2009 г. на списание "Коснос" www.kosnos.com ]

Streching vibrations of nonlinear triatomic molecules