С предишния материал започнахме една поредица за приложение на статистиката в химията. Материалът може да се използва не само от химици, а от всички, които се занимават с обработка на експериментални резултати. В тази лекция ще разгледаме някои статистически разпределения.

1. Равномерно разпределение. Това е такова разпределение, за което плътността на вероятността р(Х) е постоянна и различна от нула в даден интервал и равна на нула извън него.

                  м С за а <= Х <= b
           р(Х) = н
                  о 0 за Х < а и b > Х

Вероятността случайната величина да заема стойности в интервала  (-, +)  е единица,

като първият и третият интеграл са нули поради равенство на подинтегралната функция на нула. При интегрирането се получава

Фигура 1.6.  Плътност на вероятността на равномерно разпределение с а = 2.2 и b = 3.4.

...

Фигура 1.7. Графично  представяне на функцията на равномерно разпределение  с а = 2.2 и b = 3.4.

Функцията на разпределение е интеграл от плътността на вероятността и е равна на:

               м 0, за Х < а
        F(Х) = н (X - a)/(b - а), за а <= Х <= b
               о 1, за Х > b

На фигури 1.6. и 1.7. са изобразени двете функции р(Х) и F(Х).

2. Нормално разпределение. Непрекъсната случайна величина е разпределена нормално и тя се нарича нормална, ако плътността и на разпределение има вида:

Фигура 1.8.  Плътност на нормалното разпределение с m = 3.44 и s = 0.23.

...

Фигура 1.9. Плътност на нормалото разпределение за различни стойности на m и s; m = 2.11 и s = 0.23; m = 3.44 и s = 0.23; m = 3.44 и s = 0.45.

Другото име на това разпределение е Гаусово разпределение. Дадено нормално разпределение се означава със записа N(m,s), където m и s са така наречените параметри на разпределението. Графичният вид на тази функция (вижте фигура 1.8) е камбановидна крива, симетрична относно правата Х = m, с максимум за Х = m и с инфлексни точки за Х = m  -  s и Х = m  + s. При Х = m  +  3s  нейната стойност е почти нула в сравнение с максимума: р(Х) = 0.011р(m). Коефициентът пред експонента осигурява нормираността на плътността на разпределението, т.е. вероятността  за  намиране  на  случайната  величина  в интервала (-, +)  е единица (вижте задача 1):

Промяната на стойността на m измества кривата по координата Х без да променя наклона и, а изменението на s променя само нейния наклон. При по-големи стойности на s кривата е по-полегата и с по-нисък максимум, вижте фигура 1.9.

Функцията на разпределение се дава с интеграла,

който се нарича интеграл на Лаплас и е нерешим в явен вид. Графичният вид на тази функция е представен на фигура 1.10. Математическото очакване на нормалното разпределение е равно на m, а дисперсията на s² - вижте задача 2 и нейното решение.
 

Фигура 1.10.  Функция на разпределение на нормална  случайна величина с m = 3.44 и s = 0.23.

...

Фигура 1.11. Интеграли на  Лаплас;  F(Х) в граници от - до  +Х (двете оцветени площи)  и  F'(Х) в граници от -Х до  +Х (виолетово оцветената площ).

Ако в (1.5) се смени променливата Х с У=(Х-m)/s, се получава нормирано нормално разпределение или така нареченото стандартно разпределение. То има следната плътност на разпределение:

Според формула (1.4) от предишния материал математическото очакване и дисперсията на стандартното разпределение са съответно 0 и 1 - вижте също и задача 2.

Както видяхме стандартното разпределение е нормално разпределение с параметри  m=0 и s²=1. В приложение 1 са дадени числените решения F(Х) на интеграла на Лаплас за стандартното разпределение в граници от - до X. Често е необходимо намирането на негово решение F'(Х) в граници от -X до +X. Между двете стойности съществува връзката F'(Х)=2F(Х)-1, която е следствие от симетричността на плътността на разпределение, вижте фигура 1.11. Двата интеграла от приложението F'(Х) и F(Х) могат да се използуват за произволно нормално разпределение, като е необходимо границите на интегриране за последното да са изразени в единици s. Например за m = 3.44 и s = 0.23 границата на интегриране 4.00 в единици s е равна на (4.00-3.44)/0.23=2.44.

Задача 1. Вероятността случайната величина да заема стойности в интервала  (-, +)  е единица. Докажете това за нормалното разпределение - съответният интеграл няма решение, но двойният интеграл по-долу може да се реши със замяна на променливите x и y с радиални координати r и q.

Вижте решението на задачата.

Задача 2. Намерете математическото очакване и дисперсията на равномерното разпределение.
Вижте решението на задачата.

Задача 3. Докажете, че математическото очакване и дисперсията на нормалното разпределение са съответно m и s².
Вижте решението на задачата.

Задача 4. За стандартното разпределение докажете, че F'(Х) = 2F(Х) - 1, където F(Х) е интеграл в граници от - до X, а F'(Х) - интеграл в граници от -X до +X. Използвате симетричността на Гаусовата крива.
Вижте решението на задачата.

Задача 5. За стандартното разпределение намерете от приложение 1  F'(2.87) и F(2.87), където F(2.87) е интеграл в граници от - до 2.87, а F'(2.87) - интеграл в граници от -2.87 до +2.87.  Използвайте, че F'(Х) = 2F(Х) - 1.
Вижте решението на задачата.

Задача 6. Задача 6. За нормално разпределение с m = 3.44 и s = 0.39 намерете от приложение 1  F(4.56), където F(4.56) е интеграл в граници от - до 4.56.
Вижте решението на задачата.

Задача 7. За нормално разпределение с m = 3.44 и s = 0.39 намерете от приложение 1 интеграл в граници от 2.32 до 4.56.  Използвайте, че F'(Х) = 2F(Х) - 1. Вижте решението на задачата.

Автор: Пламен Пенчев, Ph.D.