Числата, които са пропорционални на i се наричат комплексни числа. Например 2.314xi е едно такова число (с x сме отбелязали знака за умножение). Видяхме, че аритметичните операции, които са дефинирани за реалните числа, нямат резултат само реални числа и резултатът от тях излиза извън областта на реалните числа: имагинерно = операция(реално). По същия начин, прилагането на аритметичните операции върху имагинерни числа води до реални, например i² = -1.  И за да няма противоречии се въвеждат т.н. комплексни числа, които представляват сума от реално и имагинерно число: z = a + ib.

1. Комплексни числа. Те са сума от две числа - реално и имагинерно число, z = a+ ib. Числото a  се нарича реална част на z, а числото b - имагинерна част на z, като те се отбелязват съкратено с x = Re(z) и  y = Im(z). Обикновено, комплексните числа се представят като наредена двойка от две реални числа: z = (a, b). Аритметичните операции с тях се дефинират непротиворечиво, ако се приеме, че действаме с един вид полиноминален израз и спазваме дефиницията i² = -1.

Две комплексни числа, (a₁, b₁) и (a₂, b₂), се събират или изваждат като се събират или изваждат съответните им части:

Всяко комплексно число z има спрегнато число на него, което се отбелязва с чертичка над него `z или със звезда след него z*. То има същата реална част, но неговата имагинерна част е обратна по знак:

Както споменахме, вместо като наредени двойки, комплексните числа могат да се записват и като сума, в която имагинерната част се преставя във вид на произведение на имагинерното число i (корен от минус единица) и имагинерната част. Например (a, b)= a + ib. Този запис позволява по-лесно извършване на аритметичните действия с комплексните числа: например за събирането получаваме:

По същия начин може да се получи и произведението на две комплексни числа, само трябва да се има предвид че i² = -1 .

където с x сме отбелязали знака за умножение.

От тази формула се вижда, че произведението на едно комплексно число по неговото спрегнато дава реално число, което е равно на сума от квадратите на частите на комплексното число.

Корен квадратен от това произведение се нарича модул на комплексното число и се бележи с |z| или Mod(z). Тази величина още се нарича големина на комплексното число или негова абсолютна стойност.

Като използваме горната формула и като умножим числителя и знаменателя с комплексно спрегнатото на делителя, за частното на две комплексни числа получаваме:

Останалите действия с комплексните числа, както и тяхното експоненциално представяне (формула на Ойлер) ще бъдат разгледани в специална лекция в списанието ни.

2. Формула на Ойлер. Комплексното число може да се представи и в експоненциална форма по следния начин:

където |z| е абсолютната стойност (модул) на z, а q - неговият аргумент (наричан още фаза). Връзката между абсолютната стойност и аргумента, от една страна, и реалната част и имагинерната част, от друга, се дават със следните формули (Sqrt е корен квадратен, а atan е аркустангенс):

Комплексното число може да се представи и като точка в равнината, в която е дефинирана правоъгълна координатна система. Реалната координата на числото a представлява абсцисата на точката, а имагинерната b - нейната ордината - вижте фигура 1. Ако се прекара вектор от началото до точката на комплексното число (синята стрелка на фигура 1), то неговата дължина съответства на модула на комплексното число |z|, а ъгълът между този вектор и абсцисата представлява неговия аргумент q.

На фигура 2 е представено комплексното число z = 3 + 4i. Неговият модул по горните формули е

3. Корен n-ти от комплексно число. За всяко едно комплексно число z има n на брой комплексни числа w_k; k = 0, 1, ... n-1, които удовлетворяват равенството w_kⁿ = z. Т.е. всяко едно комплексно число има n на брой n-ти корени. Ако комплексното число z се представи в експоненциална форма z = |z|е^iq, където |z| е абсолютната стойност на z, а q - неговият аргумент, то k-ият n-ти корен се намира по следния начин w_k = |w|е^{i(q + k2p)/n}, където реалното число |w| е n-ти корен от реалното число |z|, т.е. |w|ⁿ = |z|.

Нека намерим 4-те квадратични корена на реалното число -16, т.е. комплексното число (-16, 0). Модулът на това число е 16 и реалният квадратичен корен от него е 2, защото  2⁴ = 16. Неговата фаза е 180 deg или в радиани 3.1415926 rad (p rad). Тогава неговите четири корени ще са:

В горните формули с x сме означили операцията умножение.

На фигура 3 са представени 4-те квадратични корена на реалното число -16, т.е. комплексното число (-16, 0).