Това са решения на задачите от лекцията

Случайна Величина

Задача 1. Като използвате дефиницията за математическо очакване на дискретна случайна величина докажете свойство 1. Упътване: фактически константата С е дискретна случайна величина, която заема само една стойност Х1 = C с вероятност p1 = 1.

 

Решение: За дискретна случайна величина математическото очакване се изчислява по следния начин:

 

 

Задача 2. Като използвате дистрибутивното свойство на умножението (т.е. линейността на една сума) и дефиницията за математическо очакване на дискретна случайна величина докажете свойства 2 и 3 за дискретна случайна величина.

 

Решение:

 

Свойство 2: За дискретната случайна величина CX математическото очакване се изчислява по следния начин:

 

 

Свойство 3: дискретната случайна величина X+Y математическото очакване се изчислява по следния начин:

 

 

Тук използвахме факта, че вероятностния ред на сумата, pk, е в един случай този на X - pl, а в друг – този на Y - pm,

 

Задача 3. Като използвате линейността на определения интеграл и дефиницията за математическо очакване на непрекъсната случайна величина докажете свойства 2 и 3 за непрекъсната случайна величина. От статистиката е известно, че p(Cx) = p(x) и p(x+y) е p(x) за случайната величина X и p(y) за случайна величина Y.

 

Свойство 2: За непрекъсната случайна величина CX математическото очакване се изчислява по следния начин:

 

 

Тук използвахме факта, че p(Cx) = p(x),

 

Свойство 3: За непрекъсната случайна величина X+Y математическото очакване се изчислява по следния начин

 

 

Тук използвахме факта, че p(x+y) е p(x) за случайната величина X и p(y) за случайна величина Y.

 

Задача 4. Като използвате дефинициите за математическо очакване и дисперсия на случайна величина докажете свойства 5 и 6.

 

Свойство 5: По дефиниция дисперсията на случайна величина се дава с D(X) = M[X-M(X)]2 или като заместим X с C получаваме (като използваме и свойства 1 и 2)

 

D(C) = M[C-M(C)]2 = M[C-C]2 = M[0]2= M[0] = 0

 

Свойство 6: Използвайки същата дефиниция за дисперсията на случайна величина се получава (като използваме и свойства 1 и 2):

 

D(CX) = M[CX-M(CX)]2 = M[CX-CM(X)]2 = M{C2[X-M(X)]2} = C2M[(X-M(X)]2 = C2D[X]

 

Задача 5. Докажете формулите в (1.4) с помощта на свойства 1 - 7!

 

Решение за математическото очакване: използваме свойства 1 и 2 като първо изнасяме реципрочната стойност на корена от дисперсията пред математическото очакване, защото това просто е едно число. След това не забравяме също, че M(X) също е число, т.е. M[M(X)]= M(X).

 

 

Решение за дисперсията: използваме свойства 5 и 6 като първо изнасяме квадрат от реципрочната стойност на корена от дисперсията пред дисперсията, защото това просто е едно число. След това не забравяме също, че M(X) също е число, т.е. D[M(X)]= 0.

 

 

Автор: Пламен Пенчев, Ph.D.

[ това е материал от брой 23 от септември 2008 г.  на списание "Коснос" www.kosnos.com ]